Senere ændringer til forskriften
Ændrer i/ophæver
Redaktionel note
Den fulde tekst

Vejledende retningslinjer for faget matematik i gymnasiet


Dette er hæfte nr. 19 i en serie på 28 om reglerne for fagene i gymnasiet. Det indeholder de bestemmelser om matematik, som er fastsat i § 20 i bekendtgørelse af 4. november 1987 om fagene i gymnasiet (* 1). Desuden indeholder hæftet de vejledende retningslinier for faget.

Vejledende retningslinier

Matematik

Formål

Undervisningen sigter mod, at eleverne erhverver et matematisk grundlag, der øger en alsidig omverdensforståelse og udbygger forudsætningerne for en meningsfuld og kvalificeret deltagelse i det moderne teknologiske samfund.

For mange elever er gymnasiets matematikundervisning deres sidste egentlige uddannelse i matematik. Med samfundets anvendelse af matematik, ikke kun i teknik og produktion, men også som baggrund for prognoser, planlægning, beslutningstagen og styring, er det derfor af almen betydning, at eleverne på den ene side bliver i stand til hensigtsmæssigt selv at udnytte matematiske betragtningsmåder og på den anden side bliver i stand til at tage stilling til andres anvendelse heraf.

Undervisningen foregår på tre niveauer med forskellige faglige og aldersmæssige forudsætninger. Dette afspejles i de differentierede formål for undervisningen på de forskellige niveauer.

Matematisk linie

Obligatorisk niveau

I bekendtgørelsen er formålet med undervisningen anført, og det faglige indhold er beskrevet ved fem hovedemner og tre aspekter. Sigtet er, at eleverne tilegner sig matematisk viden og matematiske færdigheder af almen og studieforberedende karakter. Herunder, at de opnår fortrolighed med den abstraktion, der ligger i en matematisk begrebsdannelse, med muligheden af at udtrykke komplicerede sammenhænge med matematik som sprog, med matematisk problemløsning internt og anvendelsesmæssigt, samt at de ser faget i et historisk og nutidigt perspektiv.

Tilrettelæggelse af undervisningen:

Undervisningsforløb

Undervisningen kan organiseres i en række undervisningsforløb - som igen kan være opdelt i delforløb - med forskelligt sigte. Den rækkefølge, hvori emner og aspekter er anført i bekendtgørelsen, angiver ikke noget tidsmæssigt forløb. Ligeledes er opdelingen i hovedemner og aspekter ikke udtryk for, at undervisningen skal opdeles tilsvarende. Der kan naturligvis tilrettelægges forløb, hvor en faglig behandling af et matematisk emne er bestemmende for undervisningen, og forløb, hvor behandlingen af dele af et af aspekterne danner udgangspunkt, men der er ikke nogen skarp grænse mellem sådanne forløb. Der vil således også kunne tilrettelægges forløb, hvor behandlingen af et matematisk emne og dele af et aspekt kommer til at udgøre en undervisningsmæssig helhed.

Som eksempel kan nævnes ligningsløsning. Eleverne skal f.eks. lære at løse andengradsligninger. Dette kan naturligvis ske isoleret, men undervisningen kan også tilrettelægges således, at eleverne får emnet sat i et historisk perspektiv gennem et indblik i, hvordan behandlingen af andengradsligninger og ligningsløsning i almindelighed har udviklet sig.

Et andet eksempel er behandlingen af matematisk modeldannelse, hvor eleverne skal lære om modelopstilling og problemer knyttet til opstilling og brug af matematiske modeller. Undervisningen kan f.eks. tilrettelægges som et tema med overskriften »Matematiske vækstmodeller« og bygge på et forudgående kendskab til eksponentialfunktioner, men forløbet kunne også tilrettelægges, så behandlingen af disse funktioner og deres egenskaber blev en integreret del af forløbet.

Faglige angrebsvinkler

I arbejdet med de matematiske emneområder skal der benyttes forskellige faglige angrebsvinkler. I nogle forløb, eller delforløb, lægges hovedvægten på den række af arbejdsfaser, der ud fra et intuitivt grundlag fører frem til formulering af begrebs- og teoridannelser, medens den i andre forløb lægges på fagets deduktive karakter.

Som eksempler kan nævnes henholdsvis etableringen af et grundlag for forståelsen af begrebet differentialkvotient og udledningen af regneregler for differentialkvotienter.

De matematiske emners forskelligartede karakter gør, at det endvidere må overvejes, hvilke områder, der bedst egner sig til arbejdet med ræsonnementer og bevisførelse, og hvilke, der bedst egner sig til opøvelse af fagets håndværksmæssige sider.

Valg af arbejdsformer

Der skal benyttes forskellige arbejdsformer. I de enkelte forløb og delforløb skal det overvejes, hvilke arbejdsformer der kan fremme opfyldelsen af målene med undervisningen. Det gælder såvel arbejdet i den enkelte time som arbejdet i sekvenser af timer inden for et forløb.

I en række sammenhænge vil en samtale i klassen om stoffet være den naturlige arbejdsform. I andre sammenhænge, f.eks. ved introduktion af nye emner og ved visse former for problemløsning, kan arbejde i smågrupper eller egentligt gruppearbejde være at foretrække. I situationer, hvor eleverne f.eks. selv skal indsamle og bearbejde talmaterialer eller søge oplysninger af forskellig art, kan arbejdsformer, hvor eleverne i høj grad selv er ansvarlige for arbejdsprocessen og produktformen, benyttes.

Ud over de faglige hensyn skal der ved valg af arbejdsformer også tages hensyn til den enkelte klasse og herunder til, at forskellige elevgrupper, fagligt stærke og fagligt mindre stærke elever, elever med og uden erfaring i en bestemt arbejdsform, elever fra uddannelsesnære og uddannelsesfjerne miljøer, piger og drenge m.v., kan have forskelligt udbytte af bestemte arbejdsformer. Der skal således ikke nødvendigvis til alle forløb benyttes en arbejdsform, der tilgodeser flertallet i en klasse.

Valg af undervisningsmateriale

Eleverne skal se matematik fremstillet på forskellige måder. Med udgangspunkt i de benyttede lærebøger, noter m.v. drøftes det hvorledes de matematiske emner fremstilles. Endvidere skal eleverne stifte bekendtskab med tekster om matematik og/eller tekster, hvori anvendelser af matematik indgår.

Den mundtlige og den skriftlige dimension

Der skal arbejdes bevidst med den matematiske sprogbrug, så eleverne i stigende grad vænnes til at kunne formulere sig korrekt om matematiske forhold. Det er ikke tanken, at eleverne nødvendigvis skal kunne udtrykke sig på et højt formaliseret matematisk sprog, men at de udvikler deres tale- og skriftsprog, således at de også kan udtrykke matematiske tankegange.

Arbejdet med den matematiske sprogbrug kan understøttes på mange måder, f.eks. i dialogen i klassen om stoffet, ved små elevforedrag og i de situationer, hvor eleverne arbejder sammen i mindre grupper, og hvor de fremlægger resultater.

Eleverne skal aflevere skriftlige besvarelser af opgaver, normalt en gang om ugen. Besvarelserne rettes og kommenteres af læreren. Der skal sikres en progression i det skriftlige arbejde både med hensyn til den faglige sværhedsgrad og med hensyn til kravene til besvarelsernes udformning.

Ved sammensætningen af elevernes hjemmeopgavesæt skal der lægges vægt på, at der indgår såvel træningsopgaver i tilknytning til det behandlede stof som opgaver, hvor eleverne i tilknytning til problemløsning kan opøves i at sammenstille beregninger, figurer og argumentation, så besvarelsen af sådanne opgaver kommer til at udgøre et sammenhængende hele.

Eleverne skal også prøve at udarbejde andre former for skriftlige besvarelser. Det kan f.eks. være i form af en mindre rapport i forbindelse med et forløb, hvor formålet f.eks. har været at bearbejde et statistisk materiale eller at undersøge en matematisk model. I et sådant arbejde kan eleverne få lejlighed til at anlægge mere vurderende betragtninger og således få mulighed for at kombinere almindelig sprogbrug med matematisk sprogbrug.

Studieteknik

Det drøftes med eleverne, hvorledes arbejdet med hjemmeforberedelsen, herunder det skriftlige arbejde, kan gribes an. Der skal i undervisningen afsættes tid til sammen med eleverne at drøfte, hvorledes en matematisk tekst gennemarbejdes, så eleverne bliver opmærksomme på de særlige krav, der stilles hertil. Dele af denne fagspecifikke studieteknik kan indgå i et samarbejde med klassens øvrige lærere om studieteknik.

Elevforudsætninger og elevmedindflydelse

Der skal i det to-årige forløb være en progression i kravene til eleverne. Ved overgangen fra folkeskolens til gymnasiets matematikundervisning må der ved tilrettelæggelsen af den indledende undervisning tages hensyn til elevernes forskelligartede forudsætninger, således at overgangen ikke bliver brat. Endvidere er den behandling, et matematisk emne eller et tema fra aspekterne kan gives, afhængig af den tidsmæssige placering i det to-årige forløb. Kravene til eleverne kan således øges i takt med deres større matematiske erfaring. Herigennem sikres også, at eleverne i 2.g har et grundlag for valget af faget på højt niveau.

Undervisningen tilrettelægges af elever og lærer i fællesskab. Ved tidligt at give eleverne erfaringer med forskellige arbejdsformer i faget kan eleverne i høj grad inddrages i denne del af planlægningen af undervisningen, medens deres baggrund for at medvirke ved tilrettelæggelsen af det faglige indhold vil være mere begrænset. Deres forståelse af og stillingtagen til forslag kan gradvis øges ved, at den faglige sammenhæng mellem de matematiske emner indbyrdes og mellem emner og aspekter trækkes frem i undervisningen og ved den løbende evaluering heraf.

Edb i undervisningen

Som led i opfyldelsen af den fagintegrerede del af gymnasiets edb-undervisning skal der ved tilrettelæggelsen af undervisningen tages hensyn til de muligheder, bekendtgørelsen giver for at inddrage edb. Det vil være naturligt at benytte såvel programmer til belysning og indlæring af faglige begreber og metoder som værktøjsprogrammer. Af værktøjsprogrammer kan f.eks. peges på regneark, graftegningsprogrammer samt deterministiske og stokastiske simulationsprogrammer. Endvidere skal eleverne se eksempler på, hvordan visse matematiske fremgangsmåder kan algoritmiseres og udtrykkes i et programmeringssprog.

Samarbejde med andre fag

Der skal ved undervisningens tilrettelæggelse indgå overvejelser om koordination med andre fag, også af hensyn til elevernes arbejdsbyrde. I forbindelse med den faglige koordinering tænkes først og fremmest på de fag, hvori matematik anvendes, men også på mulighederne for samarbejde med de øvrige fag.

I starten af 1.g stilles eleverne over for en række nye udfordringer. En af disse er beherskelsen af en række grundlæggende regnetekniske og matematiske færdigheder i forbindelse med arbejdet i de eksperimentelle fag, fysik, kemi og biologi. Af sådanne færdigheder kan nævnes anvendelse af lommeregneren og elementært kendskab til nogle af standardfunktionerne, manipulation af tal og symboler i (størrelses-) ligninger, grafisk repræsentation af talmaterialer og beskrivelse af sammenhænge mellem variable størrelser, herunder proportionalitet og omvendt proportionalitet.

Det skal ved tilrettelæggelsen af matematikundervisningen overvejes, hvorledes disse færdigheder tilvejebringes. Det kan f.eks. ske gennem en række kortere undervisningsforløb, tilrettelagt i samarbejde med lærere i de eksperimentelle fag, og udgangspunktet kunne være bearbejdning af talmaterialer fra elevernes eget laboratoriearbejde. En sådan indledende behandling, som betoner et matematisk emnes eller en metodes anvendelse inden for andre fagområder, kan endvidere være motiverende for en senere og grundigere behandling.

Samarbejdsmulighederne kan udbygges, idet der i de eksperimentelle fag samt senere i geografi er mulighed for at inddrage matematiske modeller, f.eks. i form af simulationsprogrammer, i behandlingen af faglige områder i disse fag. Hermed kan elevernes opfattelse af faget matematik og dets relationer til de omtalte fag og deres arbejdsmetoder styrkes.

Da eleverne i både 1. og 2.g har faget fysik, er der her særlige muligheder for fagsamarbejde. Udover den gensidige metodiske og faglige støtte er der også mulighed for tværfagligt samarbejde i forbindelse med behandlingen af f.eks. det historiske aspekt i matematik og dimensionen »fysikken i historisk og filosofisk belysning« i fysik eller modelaspektet i matematik og dimensionen »fysikkens verdensbillede« i fysik.

Aspekterne rummer også muligheder for samarbejde med en række af de øvrige fag, eleverne har, f.eks. historie. I beskrivelsen af det historiske aspekt lægges der således op til at inddrage træk af epoker, kulturer og samfund, hvori dele af matematikken er opstået eller har udviklet sig.

Bemærkninger til bekendtgørelsens enkelte punkter:

Hovedemner:

Til pkt. 1. Tal

Mængden af henholdsvis rationale og reelle tal med sædvanlige regneregler behandles. Regnereglerne behandles især med det formål at klargøre det grundlag, hvorpå algebraiske operationer med tal og bogstaver hviler, og at styrke elevernes færdigheder i at håndtere symboludtryk. Det drøftes, at ved praktiske regninger med reelle tal benyttes endelige afkortninger af de uendelige decimaltal. Beregninger ved hjælp af lommeregner og datamaskine ses i lyset af dette, og problemer herved diskuteres. Forskellige repræsentationer af tal behandles, herunder brøk, decimaltal, eksponentiel notation samt talrepræsentation i datamaskiner. Begrebet numerisk værdi af et tal indføres. Arbejdet med tallene kan f.eks. tilrettelægges ud fra aspekterne i og iii, og opøvelsen af elevernes regnemæssige færdigheder kan med fordel være genstand for stadig opmærksomhed under arbejdet med det øvrige stof.

Potensbegrebet udvides til potens med hel og rational eksponent, og potens med vilkårlig reel eksponent berøres.

Rodbegrebet indføres, og regneregler for potenser og rødder behandles.

Under procent- og rentesregning behandles gennemsnitlig procent, simpel, fast procentfremskrivning og formler til behandling af opsparingsannuitet og gældsannuitet. Beregning af vejet gennemsnit samt indekstal behandles.

Til pkt. 2. Geometri

Et elementærgeometrisk grundlag kan tilvejebringes gennem et eller flere kortere undervisningsforløb, som samtidig giver mulighed for at illustrere opbygningen af matematisk teori og nødvendigheden af matematiske ræsonnementer.

Eleverne skal kende begreberne højde, vinkelhalveringslinje og median samt simple geometriske egenskaber ved disse. Kongruens og ligedannethed af trekanter omtales, og sinus, cosinus og tangens til vinklerne i en retvinklet trekant behandles. Endvidere behandles beregning af sider og vinkler i vilkårlige trekanter ved hjælp af cosinus- og sinusrelationerne.

På analytisk grundlag behandles ret linje og cirkel samt afstand mellem punkter og mellem punkt og linje. Det illustreres, hvorledes geometriske problemer kan formuleres og løses analytisk. Eleverne skal således kende sammenhængen mellem hældningskoefficient og ortogonalitet af rette linjer og mellem hældningskoefficient og vinkel med førsteaksen samt beregningsmetoder til bestemmelse af skæringspunkter mellem linjer og mellem linje og cirkel.

Som led i løsning af problemer, hvori der indgår geometri, opøves eleverne til (f.eks. ud fra en beskrivende tekst) selv at frembringe en geometrisk model af problemet.

Til pkt. 3. Funktioner

I arbejdet med de elementære funktioner er det muligt i undervisningen af fremhæve forskellige karakteristiske sider af faget. Afhængigt af stoffets karakter kan vægten i undervisningen således f.eks. lægges på at fremhæve teoretiske resultater og de bagved liggende begreber og ræsonnementer eller på at belyse metoder og praktiske anvendelser.

Funktionsbegrebet behandles, og der vises eksempler på funktioner, der er fastlagt ved regneudtryk, ved tabeller, i form af en algoritme indbygget i en regnemaskine og ved grafer. Begreberne sammensat funktion og invers (omvendt) funktion indføres og behandles i et sådant omfang, at eleverne har et tilstrækkeligt grundlag for at arbejde med de af hovedemnernes øvrige punkter, hvor disse begreber har betydning.

Funktioner som middel til beskrivelse og analyse af sammenhænge mellem variable størrelser fremhæves, og de idealiseringer, der herved foretages, diskuteres.

Andengradspolynomiet, dets rødder, faktorisering og graf behandles. Algoritmen for polynomiers division indføres, og sammenhængen mellem et polynomiums grad og højeste antal rødder berøres.

Principielle forhold vedrørende grafers asymptotiske forløb illustreres med simple eksempler på polynomiumsbrøker.

De trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens indføres dels med gradtal, dels med reelle tal som argumenter. Forløbet af graferne for funktioner af formen Asin(ax + b) illustreres.

Af logaritmefunktioner behandles titalslogaritmefunktionen og den naturlige logaritmefunktion.

I forbindelse med arbejdet med eksponentialfunktioner behandles eksponentiel vækst som matematisk model. Begreberne halverings- og fordoblingskonstant indføres, og brug af enkeltlogaritmisk papir indøves.

I tilknytning til behandlingen af potensfunktioner indøves brugen af dobbeltlogaritmisk papir.

I forbindelse med løsning af simple ligninger og uligheder, hvori de elementære funktioner indgår, inddrages også numeriske metoder til bestemmelse af nulpunkter for funktioner. Valg af løsningsmetode drøftes i relation til den forelagte opgaves karakter.

Til pkt. 4. Differentialregning

Undervisningen skal give eleverne et grundlag for forståelse af begrebet differentialkvotient og fortrolighed med de hertil knyttede begrebsdannelser, den anvendte symbolik og tolkninger heraf.

Kontinuitets- og grænseværdibegrebet behandles i fornødent omfang, men det er ikke tanken, at disse begreber i sig selv skal gives en egentlig behandling. Eksempler på stringent bestemmelse af differentialkvotient for simple funktioner behandles. Regneregler for differentialkvotienter, herunder produktreglen, udledes. Eleverne skal kunne benytte reglerne for differentiation af sum, differens, produkt, kvotient og sammensat funktion samt kunne foretage »grafisk differentiation«.

I arbejdet med forskellige tolkninger af differentialkvotient skal sammenhængen mellem differentialkvotient og (vækst)hastighed belyses. Herunder skal eleverne se simple eksempler på ligninger, hvori væksthastighed og f.eks. funktionsværdi indgår. Begrebet stamfunktion omtales.

I forbindelse med beskrivelse af funktioners variation og tegning af grafer drøftes differentialkvotientens betydning for fastlæggelse af funktionens monotoniforhold og ekstrema samt det kendskab, der herigennem opnåes til grafens (globale) forløb. Der arbejdes endvidere med simple optimeringsproblemer.

Det approksimerende førstegradspolynomium og anvendelsen heraf til nulpunktsbestemmelse (Newton-Raphsons metode) behandles.

Til pkt. 5. Statistik og sandsynlighedsregning

Behandlingen af sandsynlighedsfelt kan begrænses til endelige felter, men sandsynlighedsfelt i mere generel betydning kan også inddrages (f.eks. i forbindelse med normalfordeling). Sandsynlighedsfelter behandles som model for stokastiske eksperimenter, og der gives eksempler på symmetriske og ikke-symmetriske sandsynlighedsfelter. Begrebet uafhængige hændelser behandles, og betinget sandsynlighed omtales.

Eleverne skal kunne foretage simple kombinatoriske beregninger af sandsynligheder ved hjælp af multiplikationsprincippet. Den egentlige kombinatorik, herunder K(n,r), behandles kun i det omfang, det er nødvendigt for forståelsen af binomialfordelingen.

Brug af tabeller over binomialfordeling og normalfordeling samt brug af normalfordelingspapir indøves. Det er ikke tanken, at normalfordelingen skal behandles analytisk. Sammenhængen mellem de to fordelinger omtales.

Der lægges vægt på betydningen af i visse situationer at opfatte et givet talmateriale som realiserede værdier af en stokastisk variabel. Til beskrivelse af samspillet mellem observerede værdier og sandsynlighedsteoretisk model inddrages frekvens- og fordelingsfunktion.

Aspekter:

Ifølge bekendtgørelsen behandles aspekterne i forbindelse med hovedemnerne og gennem selvstændige forløb. Det er ikke tanken, at der for hvert af de tre aspekter skal tilrettelægges et særligt forløb.

Til pkt. i. Det historiske aspekt

Det vil være naturligt i forbindelse med behandlingen af hovedemnerne at perspektivere disse ved refererende at inddrage elementer af det enkelte emnes historie, idet også den øvrige historiske ramme berøres.

Herudover kan aspektet tilgodeses i særlige forløb tilrettelagt f.eks. på grundlag af et historisk tekstmateriale. Det vil være hensigtsmæssigt i mindre omfang at inddrage træk af den epoke, den kultur eller det samfund, hvori den behandlede matematik er udviklet. Eksempler på sådanne forløb er talsystemets udvikling, ligningsløsning i babylonisk eller græsk matematik, udvikling af begreberne grænseværdi og differentialkvotient, elementer af sandsynlighedsregningens og statistikkens historie.

Det historiske aspekt kan også behandles i forløb, hvor hovedsigtet er at belyse matematikken i kulturel og samfundsmæssig sammenhæng. Som eksempler på sådanne forløb kan nævnes matematikkens rolle i malerkunst og musik, den naturvidenskabelige revolution i det 17. århundrede og synspunkter på matematikkens rolle i nutidige samfund.

Til pkt. ii. Modelaspektet

Eleverne skal i simple situationer selv gennemføre en modelleringsproces. Der kan her peges på f.eks. simple optimeringssituationer, simple problemstillinger af geometrisk art, hvor den geometriske repræsentation ikke er givet på forhånd samt på simple stokastiske eksperimenter.

Elementer i modelopstilling og problemer knyttet til opstilling og brug af matematiske modeller diskuteres. Der kan her bl.a. peges på hensigt med modeldannelse; udvælgelse af de dele af virkelighedsområdet, der skal indgå i modeldannelsen og idealiseringer heraf; matematisk repræsentation med eventuel efterfølgende simplificering og informationstab; verifikationsproblemer.

I forbindelse med behandlingen af hovedemnerne inddrages eksempler på modeller, f.eks. lineære og eksponentielle vækstmodeller. Endvidere kan f.eks. differens- og/eller differentialligningsmodeller, lineær programmering eller stokastiske modeller inddrages. Generelle dynamiske eller stokastiske simulationsprogrammer kan indgå i arbejdet.

Ovenstående eksempler kan også udgøre selvstændige forløb, ligesom der også kan arbejdes med (dele af) en større autentisk model af f.eks. fysisk, økonomisk eller økologisk art. Sådanne modellers samfundsmæssige funktion inddrages i undervisningen.

Til pkt. iii. Matematikkens indre struktur

I arbejdet med de forskellige matematiske emner lærer eleverne sider af matematiks natur at kende, så at sige indefra. Sigtet med dette aspekt er at bevidstgøre eleverne om matematik som teoribygning og som sprog. Dette kan ske løbende i forbindelse med behandlingen af hovedemnerne. Man kan f.eks. diskutere abstraktion, begrebsformulering og generalisation; det induktive og det deduktive princip; aksiomatisk-deduktiv teoriopbygning; processen fra intuitiv forståelse til sætningsformulering og bevis; nødvendighed af entydighed og konsistens; nødvendighed af beviser, også i undervisningen; bevistyper, direkte og indirekte bevis: den analytiske metode; matematik som formal-logisk sprog.

Særlige forløb tilrettelægges måske mest hensigtsmæssigt ved at inddrage matematikhistoriske eller filosofiske synsvinkler. Der kan peges på forløb om f.eks. matematikkens udvikling i en periode i den græske oldtid og grundlagsdiskussionerne i slutningen af det 19. århundrede.

Matematisk linie

Højt niveau

I bekendtgørelsen er formålet med undervisningen anført, og det faglige indhold er beskrevet ved tre hovedemner, et valgfrit forløb og tre aspekter. Formål og fagligt indhold er en naturlig forlængelse af formål og fagligt indhold for matematik på obligatorisk niveau, hvorfor sigtet herfra fastholdes. Men da formålet med undervisningen, ud over formålet på det obligatoriske niveau, er, »at eleverne videreudvikler deres evne til selvstændigt at benytte matematiske begreber og metoder og bliver i stand til at sætte sig ind i, analysere og vurdere problemkredse, der kan formuleres og bearbejdes ved brug af matematiske begreber og metoder«, skal der desuden sigtes mod

- at eleverne opnår en dybere forståelse af fagets deduktive natur ved at arbejde med ræsonnementer og bevisførelse,

- at elevernes evne til at udtrykke sig mundtligt og skriftligt ved hjælp af fagets begreber og til at anvende fagets metoder udbygges,

- at problemløsningsteknikker fra det obligatoriske niveau udbygges i de nye faglige sammenhænge, og

- at eleverne bliver i stand til at genkende og uddrage en fælles matematisk struktur i problemer af ensartet natur med forskellige iklædninger.

Tilrettelæggelse af undervisningen:

Undervisningen tilrettelægges som en naturlig forlængelse af undervisningen på det obligatoriske niveau, men med den større faglige baggrund vil eleverne i højere grad end i undervisningen i 1. og 2.g kunne inddrages i de faglige overvejelser om tilrettelæggelse af undervisningen. Dette gælder i særlig grad i det valgfri forløb og i det matematisk-datalogiske emne, hvor elevernes, herunder også den enkelte elevs, forudsætninger og interesser i vid udstrækning kan udnyttes og tilgodeses.

For hold, hvor alle elever har fysik på højt niveau, vil det være naturligt at udnytte muligheden for tværfagligt samarbejde med fysik. Geometrien og integralregningen, herunder differentialligninger, er områder, som i høj grad kan anvendes til beskrivelse og løsning af fysiske problemer. Som eksempel kan nævnes den matematiske beskrivelse af satellitbevægelser.

Arbejdet med de skriftlige opgaver tilrettelægges som på det obligatoriske niveau med hensyntagen til elevernes større matematiske erfaring. Eleverne skal således aflevere skriftlige besvarelser af hjemmeopgaver, normalt en gang om ugen. I forbindelse med det skriftlige arbejde skal der også tilvejebringes forudsætninger for, at eleverne kan skrive den større skriftlige opgave i matematik.

Bemærkninger til bekendtgørelsens enkelte punkter:

Hovedemner:

Til pkt. 1. Plan- og rumgeometri. Vektorer

Der lægges vægt på at få området til at fremstå som en sammenhængende teoridannelse til beskrivelse af plane og rumlige problemstillinger. Det tydeliggøres, hvorledes begreber kan generaliseres fra to til tre dimensioner, ligesom det berøres, hvorledes begreber kan generaliseres til højere dimensioner.

Eleverne opøves i at regne såvel med vektorer som med deres koordinatudtryk, og elevernes evne til at forestille sig og til at beskrive plane og rumlige figurer søges udviklet.

Beskrivelsen af plane punktmængder behandlet på det obligatoriske niveau udbygges til også at omfatte en vektoriel beskrivelse, herunder karakterisering af ret linje ved retnings- og normalvektorer. Beskrivelsen af punktmængder i rummet skal omfatte ret linje, plan og kugleflade.

Vinkel mellem linje og plan samt mellem to planer behandles som vinkel mellem to vektorer. Skæring mellem linjer og mellem linje og plan samt mellem to planer behandles.

Eleverne skal kende en geometrisk og en analytisk karakterisering af keglesnittene. Keglesnittenes geometriske egenskaber skal ikke gøres til genstand for en egentlig behandling.

Eleverne skal se simple eksempler på plane og rumlige bevægelser givet ved parameterfremstillinger, og det skal omtales, hvorledes en hastighedsvektor til banekurven kan indføres som en vektor, hvis koordinater er de afledede til stedvektorens koordinatfunktioner. Der arbejdes med tegning af plane kurver givet ved simple parameterfremstillinger.

Til pkt. 2. Integralregning.

Differentialligninger

Udvalgte dele af integralregningen gives en sammenhængende og stringent behandling, og i tilknytning hertil arbejdes der med bevisførelse for udvalgte, væsentlige sætninger. Arbejdet med integralregningen kan indskrænkes til at omfatte klassen af kontinuerte funktioner, hvis karakteristika fremhæves.

Integralbegrebet kan indføres på flere måder, men der arbejdes både med integralet som grænseværdi for summer og med sammenhængen mellem integral og stamfunktion. Man kan vælge at indføre begrebet integrabilitet ved hjælp af grænseværdi for summer og på grundlag heraf behandle sammenhængen mellem integral og stamfunktion. Man kan også indføre det bestemte integral ved hjælp af »arealfunktionen« og først på et senere tidspunkt problematisere arealfunktionens eksistens.

Beregning af areal og rumfang behandles, og forskellige tolkninger omtales.

Eleverne skal kende såvel eksakte som numeriske metoder til beregning af integraler. Således skal eleverne kunne benytte partiel integration og integration ved substitution samt integraltabeller.

Numeriske metoder til integration baseret på venstre-, højre- og midtsum behandles. Eleverne skal se eksempler på vurdering af fejl ved brug af en numerisk metode. Ved en sådan vurdering kan det eventuelt vises, hvorledes teoretiske resultater kan anvendes.

Opfattelsen af differentialligninger som matematiske modeller skal være et gennemgående træk i behandlingen, og eleverne skal se eksempler på problemstillinger, hvor anvendelse af infinitesimale betragtninger fører til opstilling af differentialligninger. F.eks. kan den logistiske differentialligning behandles i tilknytning hertil. Der kræves ikke nogen almen teori for løsning af differentialligninger, men eleverne skal se eksempler på bestemmelse af løsningsrummet for en differentialligning. F.eks. kan den fuldstændige løsning til y' = ky og y'» = ky behandles. Eleverne skal kunne benytte løsningsmetoder til differentialligninger af formen y« = f(x)g(y) og skal specielt kende løsningerne til differentialligningerne y' = ky og y' = y(b-ay). Endvidere skal eleverne kende løsningerne til differentialligningen y'» = ky.

I arbejdet inddrages tegning af løsningskurver, herunder også sådanne, hvis analytiske udtryk i sværhedsgrad ligger ud over, hvad eleverne har arbejdet med på det obligatoriske niveau.

Til pkt. 3. Et matematisk-datalogisk emne

I modsætning til de øvrige hovedemner er der ikke til det matematiske-datalogiske emne knyttet en række af specifikt angivne emner. I stedet er angivet to hovedprincipper for indholdets udvælgelse:

- der skal indgå ræsonnementer af matematisk karakter

- der skal indgå datalogisk prægede tankegange.

Det første princip understreger, at det er et matematisk emneområde, der skal behandles, medens det andet princip understreger, at eleverne skal stifte bekendtskab med datalogiske problemstillinger, hvori det matematiske emneområde kan behandles, eller hvori emneområdet er af betydning.

Som led i arbejdet er det endvidere ønskeligt, at elevernes algoritmeforståelse udbygges med konkrete eksempler på, f.eks. hvordan visse matematiske problemer gennem passende transformationer kan løses ved hjælp af algoritmer, eller hvordan matematik kan spille en rolle i forbindelse med algoritmeopstilling og -vurdering.

Omfanget af det matematisk-datalogiske emne er ca. 20 undervisningstimer, og emnet skal udgøre et selvstændigt hele. Der er dog intet til hinder for, at det matematisk-datalogiske emne tilrettelægges, så det perspektiverer et af de øvrige hovedemner, eller at det kombineres med det valgfri forløb.

Som eksempler på mulige emner kan nævnes: numeriske algoritmer og vurdering af deres kompleksitet, lineær programmering, logik og binær aritmetik, rekursion og induktion, interpolation, projektion af flader i rummet, repræsentation af aritmetiske og logiske udtryk, symbolsk differentiation, rekursive figurer (fraktaler), fejlkorrigerende algoritmer, grafteori.

For de fleste af de nævnte emner gælder, at man kan vælge, om behandlingen skal have et overvejende teoretisk præg, eller om det overvejende skal være orienteret mod brug af maskiner og programmer.

I forbindelse med arbejdet vil det være naturligt, at eleverne kommer til at arbejde med programmer, der har relation til det valgte emne.

For nogle emners vedkommende vil det være hensigtsmæssigt at arbejde med mindre programmer, hvor algoritmen let kan overskues. Eleverne kan f.eks. afprøve programmernes tidsmæssige opførsel, foretage små justeringer m.m. Dette forudsætter, at eleverne tidligere har arbejdet med et programmeringssprog, idet der inden for rammerne af det matematisk-datalogiske emne ikke er tid til at præsentere et sådant. For andre emners vedkommende vil det være naturligt at benytte færdige, større programmer.

Man kan overveje anvendelsen af fremmedsprogede skærmtekster og vejledninger, idet mere specialiserede programmer ikke nødvendigvis forefindes på dansk.

Til Et valgfrit forløb

Det valgfri forløb kan tilrettelægges på flere måder. Holdet kan være fælles om behandlingen af et udvalgt emne, men eleverne kan også arbejde i grupper med hver sit emne.

Sigtet med det valgfri forløb kan f.eks. være:

  • a) at uddybe et af hovedemnerne.
  • b) at tilgodese et af aspekterne.
  • c) at eleverne arbejder med et selvvalgt matematisk emne.
  • d) at eleverne sætter sig ind i en i praksis forekommende matematikanvendelse og de til denne knyttede problemstillinger, herunder at de stifter bekendtskab med dele af den til grund liggende matematiske teori. I arbejdet kan f.eks. også indgå tilvejebringelse og behandling af datamaterialer.
  • e) at indgå i et tværfagligt samarbejde, hvor eleverne enten sætter sig ind i nye matematiske områder, eller hvor de anvender deres allerede erhvervede matematiske viden.

Aspekter:

Til pkt. i, ii og iii

Aspekterne er beskrevet under det obligatoriske niveau. Behandlingen af aspekterne sker i tilknytning til behandlingen af bekendtgørelsens øvrige punkter eller i særligt tilrettelagte forløb.

Den større skriftlige opgave i 3.g:

Formålet med den større skriftlige opgave i matematik er at give eleverne mulighed for selvstændigt at fordybe sig i et matematisk område og skriftligt formidle den opnåede indsigt.

Forberedelserne

Valget af emneområde kan udmærket have tilknytning til andre fag og andre faglige områder end det rent matematiske, men det skal både gennem elevernes forberedelse og den endelige opgaveformulering sikres, at der i opgavebesvarelsen bliver et væsentligt matematikindhold, som i sværhedsgrad og niveau svarer til det, der karakteriserer faget på højt niveau.

I forbindelse med valg af emneområde skal der også peges på de muligheder, aspekterne i bekendtgørelsen giver.

Opgaven er individuel, men der er mulighed for, at flere elever kan arbejde inden for samme område.

Materialet til opgaven kan være af meget forskellig art. Det kan være sædvanlige lærebøger i og om matematik, artikler med matematisk eller statistisk indhold, matematiske kildetekster m.v. Endvidere kan der i grundlaget for opgaven indgå f.eks. statistisk materiale, som eleven selv indsamler, eller fremmedsprogligt materiale.

Da perioden for opgaveskrivningen ligger midt i skoleåret, er det vigtigt, at læreren og eleven grundigt drøfter områdevalget, således at f.eks. overlap og gentagelser i forhold til undervisningen iøvrigt i videst muligt omfang undgåes, men der er selvfølgelig intet i vejen for, at det valgte område har relation til gennemgåede områder.

I nogle situationer vil det være naturligt, at læreren udpeger det materiale, eleven kan arbejde med i forberedelsesperioden; i andre situationer vil det være naturligt, at materialesøgningen indgår som et væsentligt element i forberedelserne.

Vejledningsperioden er 4 uger. Det er vigtigt, at læreren holder sig orienteret om elevens arbejde i forberedelsesperioden og her virker som vejleder. Det kan i forbindelse hermed være hensigtsmæssigt, at eleven undervejs afleverer en kort disposition over forberedelserne. Vejledningen kan bl.a. bestå i afklaring af faglige problemer eller i at støtte eleven med opgaver og supplerende materiale.

Opgavens formulering, udarbejdelse og vurdering

Opgaven formuleres endeligt af læreren. Den endelige opgavetitel må ikke være kendt af eleven på forhånd, og skal være udformet således, at opgavebesvarelsen kommer til at omhandle centrale dele af emneområdet.

Opgaveformuleringen bør være så detaljeret, at den hjælper eleven med struktureringen af stoffet uden at virke bindende for elevens selvstændige arbejde hermed.

Opgaveformuleringen kan således indeholde nogle få centrale spørgsmål, som beskriver opgaven og det perspektiv, i hvilket opgaven (og besvarelsen) skal ses. I tilknytning til opgaven kan vedlægges materiale, som eleven ikke kender på forhånd, f.eks. kan et mindre antal opgaver vedlægges opgaveformuleringen. Besvarelsen af opgaven kan imidlertid ikke alene bestå i løsning af en række snævert formulerede matematikopgaver.

Da opgaven kan omhandle såvel rent matematiske emner som emner, hvori anvendelser af matematik indgår som et væsentligt element, er det vanskeligt at give en udtømmende beskrivelse af, hvilke indholdselementer den større skriftlige opgave i matematik skal og kan indeholde. Der skal derfor her blot peges på følgende krav til udformning af besvarelsen:

- at det igennem besvarelsen demonstreres, at man kan udvælge relevante dele af stoffet, og organisere det på en sådan måde, at besvarelsen kommer til at fremstå som et hele,

- at der, når det drejer sig om matematisk teori, lægges vægt på sammenhæng, på ræsonnementer i bevisførelse samt på beherskelse af faglige metoder, og

- at der, når det drejer sig om anvendelsesbetonede problemstillinger, lægges vægt på redegørelse for den anvendte matematiske teori og modeldannelse samt på stillingtagen til de anvendte metoders fordele og ulemper, og de konklusioner, der på den opstillede baggrund kan drages, og hvilke, der ikke kan drages.

Opgavens omfang er 10-15 sider excl. figurer, tabeller, bilagsmateriale og litteraturhenvisninger. Opgavebesvarelsen skal indeholde et passende noteapparat, der klart viser, hvilket materiale de enkelte dele af besvarelsen bygger på.

Ved vurderingen af opgaven skal der foretages en helhedsbedømmelse af besvarelsen. Det, der primært skal bedømmes, er elevens evne til selvstændigt at sætte sig ind i et matematisk område og til at formidle denne indsigt. Der skal lægges vægt på faglig korrekthed og metode, og på, om besvarelsen er referatpræget, eller om der er foretaget en selvstændig udvælgelse og bearbejdning af stoffet.

Sproglig linie

Mellemniveau

I bekendtgørelsen er formålet med undervisningen anført, og det faglige indhold er beskrevet ved tre emneområder, hvoraf mindst to skal gøres til genstand for en mere dybtgående behandling, samt et valgfrit forløb. I undervisningen skal der lægges vægt på, at de matematiske emner, begreber og metoder ses fra såvel teoretiske som anvendelsesmæssige synsvinkler.

Tilrettelæggelse af undervisningen:

Med den store valgfrihed i tilrettelæggelsen af undervisningen, der er fastlagt i beskrivelsen af emneområderne, skal det tilstræbes, at elevernes ønsker til undervisningen i vid udstrækning tilgodeses. Ved tilrettelæggelsen af undervisningen skal der endvidere tages hensyn til de faglige forudsætninger i matematik, som eleverne har erhvervet gennem undervisningen i naturfag i 1.og 2.g.

Beskrivelsen af de tre emneområder indeholder træk af beskrivelsen af de tre aspekter i undervisningsvejledningen for matematik på matematisk linie. Disse kan derfor inddrages i overvejelserne om tilrettelæggelsen af undervisningen. Også med hensyn til valg af arbejdsformer og undervisningsmaterialer kan der henvises til undervisningsvejledningen for matematik på obligatorisk niveau på matematisk linie.

Som led i opfyldelsen af den fagintegrerede del af gymnasiets edb-undervisning skal der ved tilrettelæggelsen af undervisningen også tages hensyn til de muligheder, bekendtgørelsen rummer for at inddrage edb. Det vil således være naturligt at gøre brug af værktøjsprogrammer, som f.eks. regneark, graftegningsprogrammer og simulationsprogrammer.

For at sikre eleverne tilstrækkelige færdigheder og udtryksmuligheder i arbejdet med faget indgår skriftligt arbejde som et led i undervisningen.

Bemærkninger til bekendtgørelsens enkelte punkter:

Emneområder:

Til pkt. 1. Funktioner. Optimering

Arbejdet med funktioner skal som minimum omfatte forskrift, graf og relevante begreber knyttet til lineær funktion, eksponentielt voksende/aftagende funktion, potensfunktioner samt brugen af funktionspapir. Herudover behandles andengradspolynomiet.

Det er væsentligt, at eleverne i arbejdet præsenteres for praktiske sammenhænge, hvori disse funktioner indgår. Eleverne skal opøves i at løse sådanne ligninger og uligheder, som naturligt optræder i forbindelse med praktiske anvendelser af de nævnte funktioner.

I arbejdet med optimering diskuteres matematisk modeldannelse, herunder variabeltilknytning, formulering af sammenhænge mellem variable i form af ligninger og uligheder, grafisk repræsentation og løsning af problemer ved grafiske eller simple numeriske metoder.

En mere dybtgående behandling af emneområdet kan f.eks. omfatte kendskab til flere af de elementære funktioner og til flere optimeringsprincipper, f.eks. lineær programmering og indledende differentialregning.

Til pkt. 2. Bearbejdning og analyse af talmaterialer

Fra undervisningen i naturfag er eleverne vant til at behandle talmaterialer, som f.eks. er indsamlet ved eksperimentelt arbejde. Elevernes viden og færdigheder på dette område fastholdes og udbygges, og der lægges vægt på systematiseringsmetoder og vurderinger af talmaterialer ved hjælp af statistiske deskriptorer.

Vejet gennemsnit behandles, og sandsynlighedsregningen udbygges med elementær behandling af stikprøver.

Som eksempel på en teoretisk statistisk fordeling indføres normalfordelingen, og eleverne opøves i brugen af normalfordelingspapir.

Som midler til matematisk beskrivelse af almindeligt forekommende økonomiske problemstillinger behandles bl.a. indekstal, simpel, fast procentfremskrivning samt matematisk behandling af låne- og opsparingsformer, herunder begreberne rente, rentetilskrivning og inflation. I arbejdet kan autentiske materialer og virksomhedsbesøg inddrages.

Arbejdet med dette emneområde kan tilrettelægges som undervisningsforløb knyttet til et eller flere temaer. Som eksempler kan nævnes skat, værdipapirer, pris-omsætning-fortjeneste, opinionsundersøgelser, beslutningsteori. I forbindelse med arbejdet kan eleverne udarbejde mindre rapporter.

Til pkt. 3. Geometri

Arbejdet med geometrien skal tilgodese mindst eet af de beskrevne formål.

Er formålet at øge elevernes indsigt i matematisk tankegang og metode, kan dele af den elementære geometri behandles på et passende valgt aksiomatisk grundlag.

Er formålet med undervisningen at give eleverne indsigt i praktiske anvendelser af geometri, kan der tilrettelægges forløb om trigonometri.

Er formålet at give eleverne indtryk af matematik i en historisk sammenhæng, kan der arbejdes med materialer om historisk matematik og matematiske kildetekster eller med matematikkens ideehistoriske sider.

Til Et valgfrit forløb

Omfanget af dette forløb er ca. 20 undervisningstimer, og forløbet skal udgøre en helhed.

Timerne kan anvendes til uddybning af stof fra de tre emneområder eller til behandling af et helt nyt matematisk emneområde, gerne med tilknytning til et andet fag. Holdet kan være fælles om behandlingen af et emne, men eleverne kan også arbejde i grupper med hver sit emne.

Eksamen

Mundtlig eksamen:

Eksamensopgivelserne

Ved udvælgelsen af eksamensopgivelserne skal alsidighed i emnevalg og hensyntagen til stoffets faglige sværhedsgrad og egnethed som grundlag for mundtlig eksamen indgå i overvejelserne.

Materiale, som eleverne selv har fremstillet, og som har været behandlet i undervisningen, kan også indgå i opgivelserne.

Eleverne skal i god tid inden eksamen se eksempler på udformning af eksamensspørgsmål, ligesom udarbejdelse og brug af notater skal drøftes med dem.

Den mundtlige prøve

Eksamensspørgsmålene udformes på en sådan måde, at eksaminationen naturligt kan afspejle den behandling, det pågældende område har fået i undervisningen. Materiale i form af tekster, figurer, eksempler o.lign. kan vedlægges som bilag til spørgsmålene, men det skal klart fremgå, om materialet vil blive inddraget ved eksaminationen, eller om det står eksaminanden frit for, om han/hun vil benytte sig af dette. Bilag må ikke lægge op til, at forberedelsen får karakter af »opgaveregning«.

Der gives hver eksaminand eet spørgsmål med forberedelsestid.

Eksaminationen

Obligatorisk niveau: Ved eksaminationen skal eksaminanden dels have lejlighed til selv at fremlægge en afgrænset del af spørgsmålet og dels deltage i en samtale med eksaminator.

Højt niveau: Ved eksaminationen lægges der vægt på, at eksaminanden foretager en selvstændig fremlæggelse af spørgsmålet, men det forhindrer ikke, at eksaminator undervejs stiller opklarende spørgsmål, eller at der finder en samtale sted.

Mellemniveau: Ved eksaminationen skal eksaminanden dels have lejlighed til selv at fremlægge en afgrænset del af spørgsmålet og dels deltage i en samtale med eksaminator. I samtalen kan f.eks. indgå kommentering af bilag og opgaveløsning.

Skriftlig eksamen:

Til prøven skal eksaminanderne være fortrolige med de til prøven tilladte hjælpemidler, herunder brugen af lommeregner, tabeller, formelsamling samt funktionspapir.

Eleverne skal i god tid forud for den skriftlige prøve have lejlighed til at regne eksamenssæt, ligesom kravene til besvarelsernes udformning drøftes. De nærmere fastsatte krav hertil er beskrevet i forordet i den af direktoratet udarbejdede opgavesamling med vejledende eksempler på eksamensopgaver.

Redaktionel note
  • (* 1) Bekendtgørelsens paragraf er udeladt