Senere ændringer til forskriften
Den fulde tekst

Bekendtgørelse om ændring af bekendtgørelse om gymnasiet, studenterkursus og enkeltfagsstudentereksamen

(Matematik på matematisk linje)


§ 1

I bekendtgørelse nr. 319 af 19. maj 1993 om gymnasiet, studenterkursus og enkeltfagsstudentereksamen (Gymnasiebekendtgørelsen), som ændret ved bekendtgørelse nr. 853 af 14. november 1995, foretages følgende ændringer:

1. § 1, stk. 4, sidste pkt., ophæves og i stedet indsættes:

»Matematik findes på matematisk linje som et 3-årigt forløb (A-niveau) og som et 1-årigt forløb (A-niveau), der bygger oven på det 2-årige forløb (B-niveau). Matematik på højt niveau for elever på sproglig linje (B-niveau) svarer til det 2-årige forløb på matematisk linje (B-niveau), men undervisningen finder normalt sted på særskilte hold.«.

2. I § 1, stk. 5, indsættes efter »matematik« 2 steder: »(C-niveau)».

3. I § 2, stk. 1, 3. pkt., indsættes efter »et niveau«: », bortset fra matematik for elever på matematisk linje«.

4. I § 4, stk. 2, ændres

  

 »Matematik, matematisk linje              -   5  

 Matematik, sproglig linje                 5   5«  

 til:  

 »Matematik, matematisk linje i  

 3-årigt forløb (A-niveau)                (5)   5  

 Matematik, matematisk linje  

 i 1-årigt forløb (A-niveau)               -    5  

 Matematik, sproglig linje  

 (B-niveau)                                5    5«.  

5. I § 5, stk. 2, ændres »og fysik, kemi og matematik« til: »samt fysik og kemi«.

6. I § 5, stk. 2, indsættes som 4. og 5. pkt. :

»Matematik for elever på matematisk linje er fælles for klassens elever i 1. gymnasieklasse. Senest den 1. marts skal eleverne i 1. gymnasieklasse meddele, om de vil have matematik i det 3-årige forløb (A-niveau) eller i det 2-årige forløb (B-niveau). Alle elever på matematisk linje har således matematik som obligatorisk fag i 1. og 2. gymnasieklasse.«.

7. I § 10, stk. 2, 2. pkt., indsættes efter »matematik for matematikere« : »i et 3-årigt forløb (A-niveau) og i et 1-årigt forløb (A-niveau)».

8. I 13, stk. 3, affattes 2. pkt. således:

»Efter 2. gymnasieklasse aflægger alle elever på den sproglige linje skriftlig prøve i engelsk, og elever på den matematiske linje, der har valgt matematik i det 2-årige forløb (B-niveau), skriftlig prøve i matematik.«.

9. I § 16, stk. 1, nr. 2, 2. pkt., indsættes efter »matematik«: »i 2-årigt forløb (B-niveau)».

10. § 34, stk. 1, nr. 2, affattes således:

  • »2) Det er en forudsætning for indstilling til prøve i matematik efter det 1-årige forløb (A-niveau), at der senest i samme eksamenstermin aflægges prøve i matematik efter det 2-årige forløb (B-niveau).«.

11. Bilag 22, MATEMATIK, Maj 1993, erstattes af Bilag 22, MATEMATIK, Maj 1997, som vist i bilaget til denne bekendtgørelse.

§ 2

Stk. 1. Bekendtgørelsen træder i kraft den 1. august 1997 og har virkning for elever, der optages i 1. gymnasieklasse i skoleåret 1997/98 eller senere.

Undervisningsministeriet, den 26. maj 1997

Ole Vig Jensen

/ Mette Bogh

Gymnasiebekendtgørelsen

Bilag 22

MATEMATIK

Maj 1997

Matematisk linje

3-årigt forløb til A-niveau

Formålet

1. Formålet med undervisningen er,

  • a) at eleverne erhverver indsigt i en række fundamentale matematiske tankegange, begreber og metoder, og
  • b) at eleverne opnår fortrolighed med matematik som et middel til at formulere, analysere og løse problemer inden for forskellige fagområder, og
  • c) at eleverne udvikler deres evne til selvstændigt at benytte matematiske begreber og metoder og bliver i stand til at sætte sig ind i, analysere og vurdere problemkredse, der kan formuleres og bearbejdes ved hjælp af matematiske begreber og metoder.

Undervisningen

2.1 Undervisningen skal sigte mod, at eleverne opnår matematisk viden og matematiske færdigheder af almen og studieforberedende karakter. Eleverne skal videreudvikle deres elementære matematiske færdigheder, og de skal opnå forståelse for og fortrolighed med fagets deduktive natur ved at arbejde med ræsonnementer og bevisførelse. Eleverne skal blive fortrolige med den abstraktion, der ligger i en matematisk begrebsdannelse, og med den mulighed, matematik som sprog giver for at udtrykke komplicerede sammenhænge i overskuelig form. I forbindelse hermed skal eleverne blive i stand til at genkende og uddrage en fælles matematisk struktur i problemer af ensartet natur med forskellige iklædninger. I undervisningen skal der arbejdes med problemløsning såvel rent matematisk som i forbindelse med anvendelser. Eleverne skal på den ene side være i stand til selv at udnytte matematiske betragtningsmåder og på den anden side være i stand til at tage stilling til andres anvendelse heraf. Desuden skal undervisningen give eleverne mulighed for at se faget i et historisk og nutidigt perspektiv. For at styrke elevernes kundskaber, færdigheder, arbejdsmetoder og udtryksmuligheder skal der arbejdes med såvel fagets skriftlige som mundtlige dimension, således at eleverne bliver i stand til at udtrykke sig mundtligt og skriftligt ved hjælp af fagets begreber og metoder.

2.2 Skriftligt arbejde indgår som led i undervisningen. Eleverne skal jævnt fordelt over 3 år aflevere besvarelser af 77 opgavesæt, som i arbejdsomfang hver svarer til 50-100 pct. af et eksamenssæt. Besvarelserne rettes og kommenteres af læreren. Det skriftlige arbejde omfatter træningsopgaver, løsning af mere sammensatte problemer samt andre former for skriftligt arbejde, fx en mindre rapport eller en redegørelse for et emne eller tema i tilknytning til et undervisningsforløb. Sådanne andre former for skriftligt arbejde kan erstatte et eller flere sædvanlige opgavesæt.

2.3 Edb skal inddrages i undervisningen fx ved brug af værktøjsprogrammer eller programmer til belysning og indlæring af faglige begreber og metoder. Endvidere skal undervisningen omfatte eksempler på, hvordan visse matematiske fremgangsmåder kan algoritmiseres.

2.4 I 1.g behandles sædvanligvis kun emner, som er fælles for alle elever på gymnasiets matematiske linje. På den enkelte skole skal lærerne i 1.g koordinere arbejdet, således at eleverne i de forskellige klasser får samme grundlag for matematikundervisningen i 2.g. Visse emner skal i 1.g gives en sådan faglig dybde, at eleverne får mulighed for at vurdere de krav, der i 2.g og 3.g stilles på det 3-årige forløb til A-niveau.

Undervisningens indhold

3.1 Undervisningen omfatter fem hovedemner, et valgfrit forløb og tre aspekter.

De fem hovedemner :

  • 1) Tal.

Undervisningen skal uddybe elevernes forståelse af talbegrebet og styrke deres regnefærdighed. Endvidere skal eleverne blive fortrolige med regningsarternes hierarki samt opøve sikkerhed i at regne med brøker og omforme symboludtryk.

Emner: Hele, rationale og reelle tal samt regneregler for disse. Regning med potenser og rødder. Procentregning.

  • 2) Geometri og vektorer.

Undervisningen skal uddybe elevernes kendskab til grundlæggende geometriske begreber, og eleverne skal erhverve fortrolighed med geometri og trigonometri som beregningmæssige værktøjer. Endvidere skal eleverne opnå fortrolighed med vektorbegrebet i to og tre dimensioner og kunne benytte vektorregning til behandling af analytisk-geometriske problemer.

Emner: Trekant, retvinklet trekant og ensvinklede trekanter. Sinus, cosinus og tangens. Beregning af sider og vinkler i trekanter. Vektorer i planen og rummet, vektorers koordinater. Regning med vektorer, herunder skalarprodukt af to vektorer. Tværvektor, determinant og vektorprodukt. Projektion af vektor på vektor. Analytisk beskrivelse af simple punktmængder i planen og rummet. Afstand, vinkel og skæring mellem punktmængder. Parameterfremstillinger. Keglesnit.

  • 3) Funktioner.

Undervisningen skal udbygge elevernes kendskab til elementære funktioner og disses egenskaber og gøre dem fortrolige med funktionsbegrebet som et middel til at beskrive sammenhænge mellem variable størrelser.

Emner: Lineære funktioner. Polynomier. Trigonometriske funktioner. Eksponential- og logaritmefunktioner samt potensfunktioner. Løsning af simple ligninger og uligheder, hvori de nævnte funktioner indgår.

  • 4) Infinitesimalregning .

Eleverne skal erhverve indsigt i infinitesimalregningens teoribygning og begreber samt opnå færdighed i at anvende infinitesimalregningens metoder og modeller.

Emner: Grænseværdi, kontinuitet, differentialkvotient. Tangent til graf, approksimerende førstegradspolynomium. Regneregler for differentiation. Ekstremumsbestemmelse, monotoniforhold. Sammenhæng mellem afledet funktion og forløb af graf. Stamfunktion, ubestemt og bestemt integral. Det bestemte integral som grænseværdi for summer. Analytiske og numeriske metoder til integration. Beregning af areal og rumfang. Differentialligninger, specielt differentialligningerne y »= h ( x ) g ( y ) og y«»=ky .

  • 5) Statistik og sandsynlighedsregning.

Eleverne skal opnå forståelse af begreberne stokastisk eksperiment og sandsynlighed og erhverve fortrolighed med udvalgte sandsynlighedsteoretiske modeller samt praktiske anvendelser af disse.

Emner: Stokastisk eksperiment. A priori og frekventielle sandsynligheder. Sandsynlighedsfelt, sandsynlighed for hændelser. Betinget sandsynlighed og uafhængighed. Stokastisk variabel. Binomialfordeling, hypergeometrisk fordeling og normalfordeling.

Det valgfri forløb:

Omfanget af det valgfri forløb er mindst 20 lektioner. Sigtet med det valgfri forløb er at uddybe et af hovedemnerne, at tilgodese et af aspekterne eller at arbejde med et nyt matematisk område.

De tre aspekter:

  • a) Det historiske aspekt.

Eleverne skal opnå kendskab til elementer af matematikkens historie og matematik i kulturel og samfundsmæssig sammenhæng.

  • b) Modelaspektet.

Eleverne skal opnå kendskab til opbygning af matematiske modeller som repræsentationer af virkeligheden og indtryk af matematiske modellers anvendelsesmuligheder og begrænsninger samt blive i stand til i simple situationer selv at gennemføre en modelleringsproces.

  • c) Matematikkens indre struktur.

Eleverne skal opnå forståelse af de for matematik karakteristiske tankegange og metoder og indsigt i, hvordan disse indgår i udvikling og strukturering af matematiske emneområder.

3.2 Uddybende indholdsangivelse til punkterne i 3.1:

Ad 1) Tal:

Forskellige repræsentationer af tal behandles, herunder brøk, decimaltal, eksponentiel notation samt talrepræsentation i datamaskiner. Begrebet numerisk værdi af et tal indføres. Potensbegrebet udvides til potens med hel og rational eksponent samt vilkårlig reel eksponent. Rodbegrebet indføres, og regneregler for potenser og rødder behandles. Under procentregning behandles fast procentfremskrivning og gennemsnitlig procent.

Ad 2) Geometri og vektorer:

Begreberne højde, vinkelhalveringslinje, median og midtnormal indføres, og simple geometriske egenskaber ved disse omtales. Endvidere omtales kongruens og ligedannethed af trekanter, og specielt behandles sinus, cosinus og tangens til vinklerne i en retvinklet trekant. For sinus og cosinus udledes desuden additionsformlerne og formlerne for den dobbelte vinkel. Til beregning af sider og vinkler i vilkårlige trekanter udledes sinus- og cosinusrelationerne. Det illustreres, hvorledes geometriske problemer kan formuleres og løses analytisk. I den analytiske behandling af geometrien kan vektorbegrebet spille en central rolle, og behandlingen af punktmængder i planen og i rummet kan baseres på brug af vektorer. Behandlingen skal omfatte ret linje, cirkel, plan og kugleflade. Vinkel mellem to linjer, mellem linje og plan samt mellem to planer behandles som vinkel mellem to vektorer. Skæring mellem linjer, mellem linje og cirkel, mellem linje og plan, mellem linje og kugle samt mellem to planer behandles. Afstande mellem punkter, linjer og planer behandles. Keglesnittene gives både en geometrisk og en analytisk karakterisering, men der kræves ikke en egentlig behandling af keglesnittenes geometriske egenskaber. Der arbejdes med tegning af plane kurver givet ved simple parameterfremstillinger. Hastighedsvektoren til en banekurve indføres som en vektor, hvis koordinater er de afledede til stedvektorens koordinatfunktioner.

Ad 3) Funktioner:

Funktionsbegrebet behandles, og der vises eksempler på funktioner, der er fastlagt ved regneudtryk, ved tabeller, i form af algoritmer indbygget i en regnemaskine og ved grafer. Funktioner som middel til beskrivelse og analyse af sammenhænge mellem variable størrelser fremhæves, og de idealiseringer, der herved foretages, diskuteres. Begreberne sammensat funktion og invers (omvendt) funktion behandles. De elementære funktioner gives en grundig behandling med vægt på bl.a. karakteristiske træk ved deres grafer. Andengradspolynomiet, dets rødder, faktorisering og graf behandles. Algoritmen for polynomiers division indføres, og sammenhængen mellem et polynomiums grad og højeste antal rødder behandles. Principielle forhold vedrørende grafers asymptotiske forløb illustreres, og den indbyrdes størrelsesorden mellem logaritme-, eksponential- og potensfunktioner omtales. Eksempler på parametriserede familier af funktioner omtales. De trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens indføres dels med gradtal, dels med reelle tal som argumenter. Forløbet af graferne for funktioner af formen A sin( ax + b ) illustreres. Af logaritmefunktioner behandles titalslogaritmefunktionen og den naturlige logaritmefunktion. I forbindelse med arbejdet med eksponentialfunktioner behandles eksponentiel vækst som matematisk model. Begreberne halverings- og fordoblingskonstant indføres, og brug af enkeltlogaritmisk papir omtales. I tilknytning til behandlingen af potensfunktioner omtales brugen af dobbeltlogaritmisk papir. Lommeregnerens faciliteter til regression omtales. I forbindelse med løsning af simple ligninger og uligheder, hvori de elementære funktioner indgår, inddrages numeriske metoder til bestemmelse af nulpunkter for funktioner.

Ad 4) Infinitesimalregning:

Eleverne skal opnå fortrolighed med begreberne grænseværdi og kontinuitet i det omfang, det er nødvendigt for at kunne arbejde med bekendtgørelsens punkter. Undervisningen omfatter regneregler for grænseværdi og kontinuitet samt eksempler på beviser for differentialkvotient af simple funktioner, herunder trigonometriske funktioner. Metoder til grafisk og numerisk differentiation omtales. Undervisningen omfatter reglerne for differentiation af sum, differens, produkt, kvotient, invers og sammensat funktion, idet visse af reglerne, herunder produktreglen og kvotientreglen, udledes. I forbindelse med beskrivelse af funktioners variation og tegning af grafer omtales sammenhængen mellem den afledede funktion og funktionens monotoniforhold og ekstrema. Undervisningen omfatter eksempler på tolkning af differentialregningens begreber i forskellige sammenhænge, og der arbejdes endvidere med simple optimeringsproblemer. Det approksimerende førstegradspolynomium og anvendelsen heraf til nulpunktsbestemmelse (Newton-Raphsons metode) omtales.

Udvalgte dele af integralregningen skal gives en sammenhængende og stringent behandling, og i tilknytning hertil gennemføres der beviser for udvalgte, væsentlige sætninger. Der arbejdes både med integralet som grænseværdi af summer og med sammenhængen mellem integral og stamfunktion. Beregning af areal og rumfang behandles. Eksakte og numeriske metoder til beregning af integraler skal behandles, herunder partiel integration, integration ved substitution samt anvendelse af integraltabeller. Numeriske metoder til integration baseret på venstre-, højre- og midtsummer behandles. Opfattelsen af differentialligninger som matematiske modeller skal omtales, idet det illustreres, hvordan anvendelse af infinitesimale betragtninger fører til opstilling af differentialligninger. Der kræves ikke nogen almen teori for løsning af differentialligninger, men i undervisningen behandles eksempler på bestemmelse af den fuldstændige løsning til en differentialligning. Løsningsmetoder og løsninger til differentialligninger af formen y«=h ( x ) g ( y ), specielt løsningerne til differentialligningerne y'=ky , y'=b-ay samt y'=y ( b-ay ), skal indgå. Desuden gennemføres der bevis for den fuldstændige løsning til differentialligningen y'»=ky.

Ad 5) Statistik og sandsynlighedsregning:

Sandsynlighedsfelter behandles som model for stokastiske eksperimenter, og der gives eksempler på symmetriske og ikke-symmetriske sandsynlighedsfelter. Begreberne uafhængige hændelser og betinget sandsynlighed, herunder Bayes« formel, behandles. Undervisningen skal omfatte simple kombinatoriske beregninger af sandsynligheder ved hjælp af multiplikationsprincippet. Formlen for K(n,r) udledes, men den egentlige kombinatorik behandles kun i det omfang, det er nødvendigt for forståelsen af binomialfordelingen og den hypergeometriske fordeling. Brug af tabeller over binomialfordeling og normalfordeling samt brug af normalfordelingspapir indøves. Sammenhængen mellem de to fordelinger omtales. Betydningen af i visse situationer at opfatte et givet talmateriale som realiserede værdier af en stokastisk variabel fremhæves. Til beskrivelse af samspillet mellem observerede værdier og sandsynlighedsteoretisk model inddrages frekvens- og fordelingsfunktion.

Ad a) Det historiske aspekt:

Visse af hovedemnerne perspektiveres ved at inddrage elementer af det enkelte emnes historie og i mindre omfang træk af den epoke, den kultur eller det samfund, hvori den behandlede matematik er udviklet.

Ad b) Modelaspektet:

Elementer i modelopstilling og problemer knyttet til opstilling og brug af matematiske modeller diskuteres. I forbindelse med behandlingen af hovedemnerne inddrages eksempler på modeller, fx lineære og eksponentielle vækstmodeller.

Ad c) Matematikkens indre struktur:

Undervisningen skal fremhæve matematik som teoribygning og som sprog. Begreber som abstraktion og generalisation diskuteres, og der arbejdes med aksiomatisk-deduktiv teoriopbygning.

3.3 Behandlingen af de tre aspekter sker i forbindelse med behandlingen af de fem hovedemner og/eller gennem særlige undervisningsforløb tilrettelagt med henblik på et eller flere af aspekterne.

3.4 Der læses 500-700 sider, afhængigt af det valgte undervisningsmateriale.

Eksamen

4. Der afholdes en mundtlig og to skriftlige prøver.

5.1 Til den mundtlige prøve gives en forberedelsestid på ca. 30 minutter (inkl. instruktion og materialeudlevering). Der eksamineres (inkl. censur) 2 elever i timen.

5.2 Eksamenspensum for elever på normale vilkår er ca. 1/3 af det læste pensum, dvs. 170-240 sider. Opgivelserne skal omfatte stof fra alle tre gymnasieår, men hovedvægten lægges på stof fra 2.g og 3.g. Stoffet udvælges på en sådan måde, at centrale dele af det læste stof indgår med rimelig vægt, og således at centrale dele af det valgfri forløb indgår.

5.3 Eksamenspensum for selvstuderende/elever på særlige vilkår er læsepensum.

5.4 I forberedelsestiden er alle hjælpemidler tilladte, jf. dog de begrænsninger, der fremgår af eksamensbekendtgørelsen.

5.5 Der gives hver eksaminand et spørgsmål. Spørgsmålene udformes således, at det er muligt at evaluere såvel eksaminandens evne til selvstændigt at fremlægge væsentlige dele af et fagligt emne som eksaminandens overblik over et fagligt område.

6. Bedømmelsen af en eksaminands præstation ved den mundtlige prøve foretages som en helhedsvurdering. Der gives en karakter.

7.1 Til den ene skriftlige prøve gives der 4 timer. Der forelægges et opgavesæt, hvori en eller flere af opgaverne er valgfrie. I opgavesættet er det angivet, hvor mange af de valgfrie opgaver der må afleveres til bedømmelse. Såfremt der afleveres flere end det angivne antal, vil der ved bedømmelsen blive set bort fra den eller de opgaver, der står sidst i besvarelsen. Opgaverne stilles inden for centrale områder i de fem hovedemner og er udarbejdet ud fra den forudsætning, at eksaminanderne råder over en lommeregner med grafisk display, Matematisk Formelsamling for A-niveau (udgivet af Gymnasieafdelingen) samt en tabelsamling omfattende tabeller over binomialkoefficienter, kumulerede binomialfordelinger og standardnormalfordeling.

7.2 Til den skriftlige prøve efter pkt. 7.1 må eksaminanderne benytte alle hjælpemidler, jf. dog de begrænsninger, der fremgår af eksamensbekendtgørelsen.

7.3 Til den anden skriftlige prøve gives der 2 timer. Prøven foregår uden hjælpemidler.

7.4 Under begge prøver kan eksaminanderne få udleveret millimeterpapir, enkeltlogaritmisk papir med 3 dekader på andenaksen, dobbeltlogaritmisk papir med 2 dekader på førsteaksen og 3 dekader på andenaksen samt normalfordelingspapir.

7.5 Gymnasieafdelingen udsender vejledende eksempler på eksamensopgaver.

8. Ved bedømmelsen af en eksaminands besvarelse af den enkelte opgave lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår af besvarelsen, samt på de anvendte metoders og beregningers korrekthed. Ved fastsættelsen af en eksaminands karakter indgår såvel bedømmelsen af de enkelte opgaver som en helhedsvurdering af besvarelsen af de to opgavesæt. Der gives en karakter.

Matematisk og sproglig linje

2-årigt forløb til B-niveau

Formålet

9. Formålet med undervisningen er,

  • a) at eleverne erhverver indsigt i en række fundamentale matematiske tankegange, begreber og metoder, og
  • b) at eleverne opnår fortrolighed med matematik som et middel til at formulere, analysere og løse problemer inden for forskellige fagområder.

Undervisningen

10.1 Undervisningen skal sigte mod, at eleverne opnår matematisk viden og matematiske færdigheder af almen og studieforberedende karakter. Eleverne skal videreudvikle deres elementære matematiske færdigheder, og de skal opnå forståelse af fagets deduktive natur ved at arbejde med ræsonnementer og bevisførelse. Eleverne skal blive fortrolige med den abstraktion, der ligger i en matematisk begrebsdannelse, og med den mulighed, matematik som sprog giver for at udtrykke komplicerede sammenhænge i overskuelig form. I undervisningen skal der arbejdes med problemløsning såvel rent matematisk som i forbindelse med anvendelser. Eleverne skal på den ene side være i stand til selv at udnytte matematiske betragtningsmåder og på den anden side være i stand til at tage stilling til andres anvendelse heraf. Desuden skal undervisningen give eleverne mulighed for at se faget i et historisk og nutidigt perspektiv. For at styrke elevernes kundskaber, færdigheder, arbejdsmetoder og udtryksmuligheder skal der arbejdes med såvel fagets skriftlige som mundtlige dimension.

10.2 Skriftligt arbejde indgår som led i undervisningen. Eleverne skal jævnt fordelt over 2 år aflevere besvarelser af 51 opgavesæt, som i arbejdsomfang hver svarer til 50-100 pct. af et eksamenssæt. Besvarelserne rettes og kommenteres af læreren. Det skriftlige arbejde omfatter træningsopgaver, løsning af mere sammensatte problemer samt andre former for skriftligt arbejde, fx en mindre rapport eller en redegørelse for et emne eller tema i tilknytning til et undervisningsforløb. Sådanne andre former for skriftligt arbejde kan erstatte et eller flere sædvanlige opgavesæt.

10.3 Edb skal inddrages i undervisningen fx ved brug af værktøjsprogrammer eller programmer til belysning og indlæring af faglige begreber og metoder. Endvidere skal undervisningen omfatte eksempler på, hvordan visse matematiske fremgangsmåder kan algoritmiseres.

10.4 På matematisk linje kan der i 1.g sædvanligvis kun behandles emner, som er fælles for alle elever på denne linje. På den enkelte skole skal lærerne i 1.g koordinere arbejdet, således at eleverne i de forskellige klasser får samme grundlag for matematikundervisningen i 2.g. Visse emner skal i 1.g gives en sådan faglig dybde, at eleverne får mulighed for at vurdere de krav, der i 2.g, og 3.g stilles på det 3-årige forløb til A-niveau.

10.5 På sproglig linje skal der ved undervisningens tilrettelæggelse tages hensyn til de matematikfaglige forudsætninger, som eleverne erhverver gennem undervisningen i naturfag.

Undervisningens indhold

11.1 Undervisningen omfatter fem hovedemner og tre aspekter.

De fem hovedemner :

  • 1) Tal.

Undervisningen skal uddybe elevernes forståelse af talbegrebet og styrke deres regnefærdighed. Endvidere skal eleverne blive fortrolige med regningsarternes hierarki samt opøve sikkerhed i at regne med brøker og omforme symboludtryk.

Emner: Hele, rationale og reelle tal samt regneregler for disse. Regning med potenser og rødder. Procentregning.

  • 2) Geometri.

Undervisningen skal uddybe elevernes kendskab til grundlæggende geometriske begreber, og eleverne skal erhverve fortrolighed med geometri og trigonometri som beregningsmæssige værktøjer.

Emner: Trekant, retvinklet trekant og ensvinklede trekanter. Analytisk beskrivelse af simple punktmængder i planen. Afstande i planen. Sinus, cosinus og tangens. Beregning af sider og vinkler i trekanter.

  • 3) Funktioner.

Undervisningen skal udbygge elevernes kendskab til elementære funktioner og disses egenskaber og gøre dem fortrolige med funktionsbegrebet som et middel til at beskrive sammenhænge mellem variable størrelser.

Emner: Lineære funktioner. Polynomier. Trigonometriske funktioner. Eksponential- og logaritmefunktioner samt potensfunktioner. Løsning af simple ligninger og uligheder, hvori de nævnte funktioner indgår.

  • 4) Differentialregning.

Eleverne skal erhverve indsigt i differentialregningens begreber og deres tolkning samt opnå færdighed i at anvende differentialregningens metoder og modeller.

Emner: Differentialkvotient. Tangent til graf, approksimerende førstegradspolynomium. Regneregler for differentiation. Ekstremumsbestemmelse, monotoniforhold. Sammenhæng mellem afledet funktion og forløb af graf.

  • 5) Statistik og sandsynlighedsregning.

Eleverne skal opnå forståelse af begreberne stokastisk eksperiment og sandsynlighed og erhverve fortrolighed med de sandsynlighedsteoretiske modeller binomialfordeling og normalfordeling samt praktiske anvendelser af disse.

Emner: Stokastisk eksperiment. A priori og frekventielle sandsynligheder. Sandsynlighedsfelt, sandsynlighed for hændelser. Stokastisk variabel. Binomialfordeling og normalfordeling.

De tre aspekter :

  • a) Det historiske aspekt.

Eleverne skal opnå kendskab til elementer af matematikkens historie og matematik i kulturel og samfundsmæssig sammenhæng.

  • b) Modelaspektet.

Eleverne skal opnå kendskab til opbygning af matematiske modeller som repræsentationer af virkeligheden og indtryk af matematiske modellers anvendelsesmuligheder og begrænsninger samt blive i stand til i simple situationer selv at gennemføre en modelleringsproces.

  • c) Matematikkens indre struktur.

Eleverne skal opnå forståelse af de for matematik karakteristiske tankegange og metoder og indsigt i, hvordan disse indgår i udvikling og strukturering af matematiske emneområder.

11.2 Uddybende indholdsangivelse til punkterne i 11.1:

Ad 1) Tal:

Forskellige repræsentationer af tal behandles, herunder brøk, decimaltal, eksponentiel notation samt talrepræsentation i datamaskiner. Begrebet numerisk værdi af et tal indføres. Potensbegrebet udvides til potens med hel og rational eksponent samt vilkårlig reel eksponent. Rodbegrebet indføres, og regneregler for potenser og rødder behandles. Under procentregning behandles fast procentfremskrivning og gennemsnitlig procent.

Ad 2) Geometri:

Begreberne højde, vinkelhalveringslinje, median og midtnormal indføres, og simple geometriske egenskaber ved disse omtales. Endvidere omtales kongruens og ligedannethed af trekanter, og specielt behandles sinus, cosinus og tangens til vinklerne i en retvinklet trekant. Til beregning af sider og vinkler i vilkårlige trekanter udledes sinus- og cosinusrelationerne. På analytisk grundlag behandles ret linje og cirkel samt afstand mellem punkter og mellem punkt og linje. Det illustreres, hvorledes geometriske problemer kan formuleres og løses analytisk. Herunder behandles sammenhængen mellem hældningskoefficient og ortogonalitet af rette linjer og mellem hældningskoefficient og vinkel med førsteaksen samt metoder til beregning af skæringspunkter mellem linjer og mellem linje og cirkel.

Ad 3) Funktioner:

Funktionsbegrebet behandles, og der vises eksempler på funktioner, der er fastlagt ved regneudtryk, ved tabeller, i form af algoritmer indbygget i en regnemaskine og ved grafer. Funktioner som middel til beskrivelse og analyse af sammenhænge mellem variable størrelser fremhæves, og de idealiseringer, der herved foretages, diskuteres. Begreberne sammensat funktion og invers (omvendt) funktion behandles i det omfang, det er nødvendigt for at kunne arbejde med bekendtgørelsens øvrige punkter. De elementære funktioner gives en grundig behandling med vægt på bl.a. karakteristiske træk ved deres grafer. Andengradspolynomiet, dets rødder, faktorisering og graf behandles. Sammenhængen mellem et polynomiums grad og højeste antal rødder omtales. Principielle forhold vedrørende grafers asymptotiske forløb illustreres. Eksempler på parametriserede familier af funktioner omtales. De trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens indføres dels med gradtal, dels med reelle tal som argumenter. Af logaritmefunktioner behandles titalslogaritmefunktionen og den naturlige logaritmefunktion. I forbindelse med arbejdet med eksponentialfunktioner behandles eksponentiel vækst som matematisk model. Begreberne halverings- og fordoblingskonstant indføres, og brug af enkeltlogaritmisk papir omtales. I tilknytning til behandlingen af potensfunktioner omtales brugen af dobbeltlogaritmisk papir. Lommeregnerens faciliteter til regression omtales. I forbindelse med løsning af simple ligninger og uligheder, hvori de elementære funktioner indgår, inddrages numeriske metoder til bestemmelse af nulpunkter for funktioner.

Ad 4) Differentialregning:

Begreberne kontinuitet og grænseværdi behandles i fornødent omfang, men det er ikke tanken, at de i sig selv skal gives en egentlig behandling. Eksempler på stringent bestemmelse af differentialkvotient for simple funktioner behandles, og metoder til grafisk og numerisk differentiation omtales. Undervisningen omfatter reglerne for differentiation af sum, differens, produkt, kvotient og sammensat funktion, idet visse af reglerne, herunder produktreglen, udledes. Sammenhængen mellem differentialkvotient og (vækst)hastighed skal belyses. Herunder præsenteres simple eksempler på ligninger, hvori væksthastighed og funktionsværdi indgår. Begrebet stamfunktion omtales. I forbindelse med beskrivelse af funktioners variation og tegning af grafer omtales sammenhængen mellem den afledede funktion og funktionens monotoniforhold og ekstrema. Der arbejdes endvidere med simple optimeringsproblemer. Det approksimerende førstegradspolynomium og anvendelsen heraf til nulpunktsbestemmelse (Newton-Raphsons metode) omtales.

Ad 5) Statistik og sandsynlighedsregning:

Sandsynlighedsfelter behandles som model for stokastiske eksperimenter, og der gives eksempler på symmetriske og ikke-symmetriske sandsynlighedsfelter. Begrebet uafhængige hændelser behandles, og betinget sandsynlighed omtales. Undervisningen skal omfatte simple kombinatoriske beregninger af sandsynligheder ved hjælp af multiplikationsprincippet. Den egentlige kombinatorik, herunder K ( n , r ), behandles kun i det omfang, det er nødvendigt for forståelsen af binomialfordelingen. Brug af tabeller over binomialfordeling og normalfordeling samt brug af normalfordelingspapir indøves. Det er ikke tanken, at normalfordelingen skal behandles analytisk. Sammenhængen mellem de to fordelinger omtales. Betydningen af i visse situationer at opfatte et givet talmateriale som realiserede værdier af en stokastisk variabel fremhæves. Til beskrivelse af samspillet mellem observerede værdier og sandsynlighedsteoretisk model inddrages frekvens- og fordelingsfunktion.

Ad a) Det historiske aspekt:

Visse af hovedemnerne perspektiveres ved at inddrage elementer af det enkelte emnes historie og i mindre omfang træk af den epoke, den kultur eller det samfund, hvori den behandlede matematik er udviklet.

Ad b) Modelaspektet:

Elementer i modelopstilling og problemer knyttet til opstilling og brug af matematiske modeller diskuteres. I forbindelse med behandlingen af hovedemnerne inddrages eksempler på modeller, fx lineære og eksponentielle vækstmodeller.

Ad c) Matematikkens indre struktur:

Undervisningen skal fremhæve matematik som teoribygning og som sprog. Begreber som abstraktion og generalisation diskuteres, og der arbejdes med aksiomatisk-deduktiv teoriopbygning.

11.3 Behandlingen af de tre aspekter sker i forbindelse med behandlingen af de fem hovedemner og gennem særlige undervisningsforløb tilrettelagt med henblik på et eller flere af aspekterne. Omfanget af sådanne forløb er tilsammen mindst 20 lektioner, idet mindst 10 af disse skal udgøre et sammenhængende forløb.

11.4 Der læses 280-440 sider, afhængigt af det valgte undervisningsmateriale.

Eksamen

12. Der afholdes en mundtlig og en skriftlig prøve.

13.1 Til den mundtlige prøve gives en forberedelsestid på ca. 25 minutter (inkl. instruktion og materialeudlevering). Der eksamineres (inkl. censur) 21/2 elev i timen.

13.2 Eksamenspensum for elever på normale vilkår er ca. halvdelen af det læste pensum, udvalgt på en sådan måde, at centrale dele af det læste stof indgår med rimelig vægt, og således at det sammenhængende undervisningsforløb inden for aspekterne indgår. Afhængigt af det valgte stof og undervisningsmaterialets art opgives 140-220 sider.

13.3 Eksamenspensum for selvstuderende/elever på særlige vilkår er læsepensum.

13.4 I forberedelsestiden er alle hjælpemidler tilladte, jf. dog de begrænsninger, der fremgår af eksamensbekendtgørelsen.

13.5 Der gives hver eksaminand et spørgsmål. Spørgsmålene udformes således, at det er muligt at evaluere såvel eksaminandens evne til selvstændigt at redegøre for en afgrænset del af et fagligt emne som eksaminandens overblik over et fagligt område. Ved eksaminationen skal eksaminanden dels have lejlighed til selv at fremlægge en afgrænset del af spørgsmålet, dels deltage i en samtale med eksaminator.

14. Bedømmelsen af en eksaminands præstation ved den mundtlige prøve foretages som en helhedsvurdering. Der gives en karakter.

15.1 Til den skriftlige prøve gives der 4 timer. Prøven er opbygget således, at den første del skal besvares uden brug af hjælpemidler. Til denne del af prøven gives der 1 time. Under den anden del af prøven må eksaminanderne benytte alle hjælpemidler, jf. dog de begrænsninger, der fremgår af eksamensbekendtgørelsen.

15.2 Der forelægges et opgavesæt, hvori en eller flere af opgaverne er valgfrie. I opgavesættet er det angivet, hvor mange af de valgfrie opgaver der må afleveres til bedømmelse. Såfremt der afleveres flere end det angivne antal, vil der ved bedømmelsen blive set bort fra den eller de valgfrie opgaver, der står sidst i besvarelsen. Opgaverne stilles inden for centrale områder i de fem hovedemner og er i anden del af prøven udarbejdet ud fra den forudsætning, at eksaminanderne råder over en lommeregner med grafisk display, Matematisk Formelsamling for B-niveau (udgivet af Gymnasieafdelingen) samt en tabelsamling omfattende tabeller over binomialkoefficienter, kumulerede binomialfordelinger og standardnormalfordeling.

15.3 Under prøven kan eksaminanderne få udleveret millimeterpapir, enkeltlogaritmisk papir med 3 dekader på andenaksen, dobbeltlogaritmisk papir med 2 dekader på førsteaksen og 3 dekader på andenaksen samt normalfordelingspapir.

15.4 Gymnasieafdelingen udsender vejledende eksempler på eksamensopgaver.

16. Ved bedømmelsen af en eksaminands besvarelse af den enkelte opgave lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår af besvarelsen, samt på de anvendte metoders og beregningers korrekthed. Ved fastsættelsen af karakteren for en eksaminands opgavebesvarelse indgår såvel bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte opgaver som en helhedsvurdering. Der gives en karakter.

Matematisk linje

1-årigt forløb til A-niveau

Formålet

17. Formålet med undervisningen er, at eleverne på baggrund af matematikundervisningen på det 2-årige forløb til B-niveau

  • a) uddyber deres indsigt i en række fundamentale matematiske tankegange, begreber og metoder,
  • b) vedligeholder og udbygger deres fortrolighed med matematik som et middel til at formulere, analysere og løse problemer inden for forskellige fagområder, og
  • c) videreudvikler deres evne til selvstændigt at benytte matematiske begreber og metoder og bliver i stand til at sætte sig ind i, analysere og vurdere problemkredse, der kan formuleres og bearbejdes ved brug af matematiske begreber og metoder.

Undervisningen

18.1 Undervisningen er en fortsættelse af undervisningen på det 2-årige forløb til B-niveau. For at tilgodese formålet på det 1-årige forløb til A-niveau skal der sigtes mod, at eleverne opnår en dybere forståelse af fagets deduktive natur ved at arbejde med ræsonnementer og bevisførelse. Problemløsningsteknikker videreføres i nye faglige sammenhænge, og eleverne skal blive i stand til at genkende og uddrage en fælles matematisk struktur i problemer af ensartet natur med forskellige iklædninger. Undervisningen skal udbygge elevernes evne til at udtrykke sig mundtligt og skriftligt ved hjælp af fagets begreber og til at anvende fagets metoder.

18.2 Ved tilrettelæggelsen af undervisningen skal der tages udgangspunkt i de faglige forudsætninger, eleverne har tilvejebragt gennem deres tidligere undervisning i matematik på B-niveau.

18.3 Skriftligt arbejde indgår som led i undervisningen. Eleverne skal aflevere besvarelser af 26 opgavesæt, som i arbejdsomfang hver svarer til 75-100 pct. af et eksamenssæt. Besvarelserne rettes og kommenteres af læreren. Det skriftlige arbejde omfatter træningsopgaver, løsning af mere sammensatte problemer samt andre former for skriftligt arbejde.

18.4 Edb skal inddrages i undervisningen fx ved brug af værktøjsprogrammer eller programmer til belysning og indlæring af faglige begreber og metoder. Endvidere skal undervisningen omfatte eksempler på, hvordan visse matematiske fremstillingsmåder kan algoritmiseres.

Undervisningens indhold

19.1 Undervisningen omfatter to hovedemner og tre aspekter.

De to hovedemner :

  • 1) Plan- og rumgeometri. Vektorer.

Undervisningen skal udbygge elevernes kendskab til geometrisk og analytisk beskrivelse af plane og rumlige punktmængder. Eleverne skal opnå fortrolighed med vektorbegrebet i to og tre dimensioner og kunne benytte vektorregning som et beregningsmæssigt værktøj.

Emner: Vektorer i planen og rummet, vektorers koordinater. Regning med vektorer, herunder skalarprodukt af to vektorer. Tværvektor, determinant og vektorprodukt. Projektion af vektor på vektor. Analytisk beskrivelse af simple punktmængder i planen og rummet. Afstand, vinkel og skæring mellem punktmængder. Parameterfremstillinger. Keglesnit.

  • 2) Integralregning. Differentialligninger.

Eleverne skal erhverve indsigt i begrebsdannelser knyttet til integralregningens teoribygning og i vekselvirkningen mellem differentialregning og integralregning. Eleverne skal opnå færdighed i at behandle problemer knyttet til differentialligninger som matematiske modeller.

Emner: Stamfunktion, ubestemt og bestemt integral. Det bestemte integral som grænseværdi for summer. Analytiske og numeriske metoder til integration. Beregning af areal og rumfang. Differentialligninger, specielt differentialligningerne y »= h ( x ) g ( y ) og y«»=ky .

De tre aspekter :

  • a) Det historiske aspekt.

Eleverne skal udbygge deres kendskab til elementer af matematikkens historie og matematik i kulturel og samfundsmæssig sammenhæng.

  • b) Modelaspektet.

Eleverne skal udbygge deres kendskab til opbygning af matematiske modeller som repræsentationer af virkeligheden og indtryk af matematiske modellers anvendelsesmuligheder og begrænsninger.

  • c) Matematikkens indre struktur.

Eleverne skal udbygge deres forståelse af de for matematik karakteristiske tankegange og metoder og indsigt i, hvordan disse indgår i udvikling og strukturering af matematiske emneområder.

19.2 Uddybende indholdsangivelse til punkterne i 19.1:

Ad 1) Plan- og rumgeometri. Vektorer:

Beskrivelsen af plane punktmængder udbygges til at omfatte en vektoriel beskrivelse, herunder karakterisering af ret linje ved retnings- og normalvektor. Beskrivelsen af punktmængder i rummet skal omfatte ret linje, plan og kugleflade. Vinkel mellem linje og plan samt mellem to planer behandles som vinkel mellem to vektorer. Skæring mellem linjer, mellem linje og plan, mellem linje og kugle samt mellem to planer behandles. Afstande mellem punkter, linjer og planer behandles. Keglesnittene gives både en geometrisk og en analytisk karakterisering, men der kræves ikke en egentlig behandling af keglesnittenes geometriske egenskaber. Der arbejdes med tegning af plane kurver givet ved simple parameterfremstillinger. Hastighedsvektoren til en banekurve indføres som en vektor, hvis koordinater er de afledede til stedvektorens koordinatfunktioner.

Ad 2) Integralregning. Differentialligninger:

Eleverne skal videreudvikle deres forståelse af begreberne grænseværdi og kontinuitet i det omfang, det er nødvendigt for arbejdet med integralregning og differentialligninger. Udvalgte dele af integralregningen skal gives en sammenhængende og stringent behandling, og i tilknytning hertil arbejdes der med bevisførelse for udvalgte, væsentlige sætninger. Der arbejdes både med integralet som grænseværdi for summer og med sammenhængen mellem integral og stamfunktion. Beregning af areal og rumfang behandles. Eksakte og numeriske metoder til beregning af integraler skal behandles, herunder partiel integration, integration ved substitution samt anvendelse af integraltabeller. Numeriske metoder til integration baseret på venstre-, højre- og midtsummer behandles. Opfattelsen af differentialligninger som matematiske modeller skal omtales, idet det illustreres, hvordan anvendelse af infinitesimale betragtninger fører til opstilling af differentialligninger. Der kræves ikke nogen almen teori for løsning af differentialligninger, men i undervisningen behandles eksempler på bestemmelse af den fuldstændige løsning til en differentialligning. Løsningsmetoder og løsninger til differentialligninger af formen y«=h ( x ) g ( y ), specielt løsningerne til differentialligningerne y'=ky , y'=b-ay, y'=y ( b-ay ) samt y'»=ky skal indgå.

Ad a) Det historiske aspekt:

Visse af hovedemnerne perspektiveres ved at inddrage elementer af det enkelte emnes historie og i mindre omfang træk af den epoke, den kultur eller det samfund, hvori den behandlede matematik er udviklet.

Ad b) Modelaspektet:

Elementer i modelopstilling og problemer knyttet til opstilling og brug af matematiske modeller diskuteres. I forbindelse med behandlingen af hovedemnerne inddrages eksempler på modeller.

Ad c) Matematikkens indre struktur:

Undervisningen skal fremhæve matematik som teoribygning og som sprog. Begreber som abstraktion og generalisation diskuteres, og der arbejdes med aksiomatisk-deduktiv teoriopbygning.

19.3 Behandlingen af de tre aspekter sker i forbindelse med behandlingen af de to hovedemner og gennem særlige undervisningsforløb tilrettelagt med henblik på et eller flere af aspekterne. For at tilgodese modelaspektet skal mindst 10 timer benyttes til at gennemføre et sammenhængende forløb med henblik på anvendelser af integralregning og/eller differentialligninger.

19.4 Der læses 170-260 sider, afhængigt af det valgte undervisningsmateriale.

Eksamen

20. Der afholdes en mundtlig og en skriftlig prøve.

21.1 Til den mundtlige prøve gives en forberedelsestid på ca. 30 minutter (inkl. instruktion og materialeudlevering). Der eksamineres (inkl. censur) 2 elever i timen.

21.2 Eksamenspensum for elever på normale vilkår er ca. 2/3 af det læste pensum, dvs. 115-175 sider, udvalgt på en sådan måde, at centrale dele af det læste stof indgår med rimelig vægt, og således, at det sammenhængende undervisningsforløb inden for modelaspektet indgår i eksamenspensum. Afhængigt af det valgte stof og undervisningsmaterialets art opgives 115-175 sider.

21.3 Eksamenspensum for selvstuderende/elever på særlige vilkår er læsepensum.

21.4 I forberedelsestiden er alle hjælpemidler tilladte, jf. dog de begrænsninger, der fremgår af eksamensbekendtgørelsen.

21.5 Der gives hver eksaminand et spørgsmål. Spørgsmålene udformes således, at det er muligt at evaluere såvel eksaminandens evne til selvstændigt at fremlægge væsentlige dele af et fagligt emne som eksaminandens overblik over et fagligt område.

22. Bedømmelsen af en eksaminands præstation ved den mundtlige prøve foretages som en helhedsvurdering. Der gives en karakter.

23.1 Til den skriftlige prøve gives der 4 timer. Prøven er opbygget således, at den første del skal besvares uden brug af hjælpemidler. Til denne del af prøven gives der 1 time. Under den anden del af prøven må eksaminanderne benytte alle hjælpemidler, jf. dog de begrænsninger, der fremgår af eksamensbekendtgørelsen.

23.2 Der forelægges et opgavesæt, hvori en eller flere af opgaverne er valgfrie. I opgavesættet er det angivet, hvor mange af de valgfrie opgaver der må afleveres til bedømmelse. Såfremt der afleveres flere end det angivne antal, vil der ved bedømmelsen blive set bort fra den eller de valgfrie opgaver, der står sidst i besvarelsen. Opgaverne stilles inden for centrale områder i de to hovedemner og er i anden del af prøven udarbejdet ud fra den forudsætning, at eksaminanderne råder over en lommeregner med grafisk display.

23.3 Under prøven kan eksaminanderne få udleveret millimeterpapir, enkeltlogaritmisk papir med 3 dekader på andenaksen samt dobbeltlogaritmisk papir med 2 dekader på førsteaksen og 3 dekader på andenaksen.

23.4 Gymnasieafdelingen udsender vejledende eksempler på eksamensopgaver.

24. Ved bedømmelsen af en eksaminands besvarelse af den enkelte opgave lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår af besvarelsen, samt på de anvendte metoders og beregningers korrekthed. Ved fastsættelsen af karakteren for en eksaminands opgavebesvarelse indgår såvel bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte opgaver som en helhedsvurdering. Der gives en karakter.

Officielle noter

Ingen